Funciones y gráficas


En este cap´ıtulo estudiamos las propiedades de funciones, para lo cual
usamos m´etodos algebraicos y gr´aficos que incluyen la localizaci´on de puntos,
determinaci´on de simetr´ıas y desplazamientos horizontales y verticales.
Introducimos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en
un plano por medio dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes
coordenados, que se cortan en el origen O (ver figura). La recta horizontal
recibe el nombre de “eje x”y la vertical el de “eje y”; se indican con X e Y
respectivamente. Con lo anterior, se trata de un plano coordenado o plano xy.
Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo,
tercero y cuarto cuadrantes (ver figura; I, II, III, IV). Los puntos de los ejes
no pertenecen a cuadrante alguno.


external image images?q=tbn:ANd9GcSnvLx9DgrhwWj5v2ON92-Mkc8BHHYFvaELxIj6la2lxioOk0TQ



A cada punto P de un plano xy se le puede asignar un par ordenado (a; b),
seg´un se aprecia en la figura siguiente. El primer elemento del par ordenado
es llamado la coordenada x (o absisa) de P y el segundo elemento del par
ordenado es llamado la coordenada y (u ordenada) de P. Decimos que P
tiene coordenadas (a; b) y nos referimos al punto (a; b) o al punto P(a; b). A

dominio y recorrido de una gráfica:
El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:
external image image002.gif




Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:
external image image004.gif






Funciones crecientes, decrecientes y constantesDefinición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:
1) external image image006.gif
La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.
2) external image image008.gif
La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.
3) external image image010.gif
La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.
4) external image image012.gif
La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.


Funciones y gráficas




external image tuenti.png
==Tabla de contenidos==
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* 1 Definición



Definición


Una función real de variable real es toda correspondencia
mathrm{f}
mathrm{f}
que asocia a cada elemento
x
x
de un subconjunto no vacio
D
D
de
R
R
un único número real. La expresamos como:


mathrm{f}: D subset R longrightarrow R
mathrm{f}: D subset R longrightarrow R


x longrightarrow y , = , mathrm{f} left( , x  , right)
x longrightarrow y , = , mathrm{f} left( , x , right)


x
x
es la variable independiente e
y
y
la variable dependiente.


Al conjunto,
D
D
, de valores que toma la variable independiente
x
x
se le llama dominio de la función.


Al conjunto de valores que toma la variable dependiente
y
y
se le llama recorrido de la función.


Una función se define explicitamente si viene dada como
y , = , mathrm{f} left( , x  , right)
y , = , mathrm{f} left( , x , right)
, es decir, si la variable dependiente,
y
y
, está despejada.


Una función se define implícitamente si viene dada en la forma
mathrm{f}left(</p><pre> , x, , y ,</pre><p>right), = , 0
mathrm{f}left(</p><pre> , x, , y ,</pre><p>right), = , 0
, esto es, si la función se define mediante una expresión algebraica igualada a cero.



[editar] Ejemplo


La función
y , = , cos left( , x  , right)
y , = , cos left( , x , right)
está expresada en forma explícita.


La función
log y , - , x , = , 0
log y , - , x , = , 0
está expresada en forma implícita.



[editar] Gráfica


La gráfica de una función
mathrm{f}
mathrm{f}
es el conjunto de puntos del plano definido de la siguiente forma:


left{</p><pre> left(, x, , y ,right)in R^2 ,left|, y , = , mathrm{f} left( , x  , right)right.</pre><p>right}
left{</p><pre> left(, x, , y ,right)in R^2 ,left|, y , = , mathrm{f} left( , x , right)right.</pre><p>right}



[editar] Ejemplo


La figura de abajo muestra la gráfica de la funcion
mathrm{f} left( , x  , right) , = , frac{x^4}{4}
mathrm{f} left( , x , right) , = , frac{x^4}{4}
y cuatro puntos de la misma:




Imagen:funcion.png
Imagen:funcion.png



[editar] Características de una función

Las características mas importantes de una función son:
  1. Dominio y recorrido.
  2. Existencia o no de periodicidad.
  3. Existencia o no de simetrías.
  4. Acotada o no acotada ( superior y/o inferiormente ).
  5. Existencia o no de extremos relativos.
  6. Existencia o no de extremos absolutos.
  7. Puntos de discontinuidad.
  8. Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
  9. Signo de la función.
  10. Donde la función es creciente y donde decreciente.
  11. Concavidad y convexidad.
  12. Asíntotas ( horizontales, verticales y oblicuas ).

Funciones gráficas


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home.gif (1232 bytes)
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Contexto gráfico

[[http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/grafico/funciones.htm#El contexto gráfico|El contexto gráfico]]
[[http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/grafico/funciones.htm#Funciones gráficas|Funciones gráficas]]

Hemos introducido la noción de contexto gráfico en las páginas anteriores, cuando se ha [[http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/intro/primero.htm#El primer applet|creado el primer applet]], que muestra un mensaje. En este capítulo se estudiarán algunas funciones gráficas definidas en la clase Graphics, y tres clases que sirven de apoyo para dibujar en el contexto gráfico: la clase Color que describe los colores, la clase Font que nos permite crear fuentes de texto y la clase FontMetrics que nos proporciona sus características.

El contexto gráfico

La función paint y update nos suministran el contexto gráfico del applet o del componente, en otros casos, hemos de obtener el contexto gráfico del componente mediante la función getGraphics. Una vez obtenido el contexto gráfico podemos llamar desde este objeto a las funciones gráficas definidas en la clase Graphics.
<span style="display: block; font-size: 150%; text-align: justify;">public void paint(Graphics g){
//usar el contexto gráfico g
}</span>
<span style="display: block; font-size: 150%; text-align: justify;">public void update(Graphics g){
//usar el contexto gráfico g
}</span>
<span style="display: block; font-size: 150%; text-align: justify;">void funcion(){
    Graphics g=getGraphics();
    //usar el contexto gráfico g
    g.dispose();
}</span>
Como vemos en esta porción de código existe una sutil diferencia entre suministrar y obtener el contexto gráfico g. Solamente es necesario liberar los recursos asociados al contexto g, mediante la llamada a la función dispose, cuando se obtiene el contexto gráfico mediante getGraphics.
La clase Graphics es abstracta por lo que no se pueden crear mediante new objetos de esta clase, pero se pueden guardar en una referencia g de la clase Graphics los contextos gráficos concretos de los distintos componentes.
Un contexto gráfico es como la hoja en blanco situada en un trazador (plotter). Para dibujar en dicha hoja se toma una pluma, se dibuja, se toma otra pluma de distinto color o grosor, se dibuja otra porción del gráfico, y así sucesivamente. Cuando no se selecciona explícitamente, se dibuja con una pluma que se establece por defecto.
Las librerías gráficas como la de Windows, disponen de plumas de distinto grosor para dibujar líneas con distintos estilos, brochas para rellenar el interior de una figura cerrada con un color sólido, con una determinada trama o figura, y fuentes de texto, para dibujar texto con distintas fuentes y estilos. La librería gráfica que viene con la versión 1.1 de Java es muy limitada. No hay objetos pinceles, ni brochas. Las líneas tienen un único grosor y estilo, solamente se pueden cambiar de color, las figuras cerradas solamente se pueden rellenar con un color sólido, y las fuentes de texto disponibles son muy pocas.
La clase Graphics describe el contexto gráfico y proporciona un conjunto de funciones para dibujar las siguientes figuras
  • Líneas
  • Círculos y elipses
  • Rectángulos y polígones
  • Imágenes
  • Texto
grafico1.gif (1011 bytes)
grafico1.gif (1011 bytes)

El sistema de coordenadas que se usa en Java es similar a Windows. El área de trabajo del applet está compuesta por una matriz bidimensional de puntos o pixels. Decimos que un punto tiene de coordendas (x, y) cuando está en la columna x medida desde la izquierda, y está en la fila y, medida desde arriba.
La esquina superior izquierda es el origen (0, 0).
La esquina inferior derecha viene determinada por las dimensiones del componente. La función getSize nos devuelve un objeto de la clase Dimension cuyos miembros width y height nos suministran la anchura y altura del componenete.
int ancho=getSize().width; int alto=getSize().heigth;

FUNCIONES Y GRAFICAS


external image vazquez10.gifEn matematicas, lagráfica de una f:XY es la visualizaciónde la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante surepresentacióninconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto delproducto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas , donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivocamediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.
En esta unidad estaremos demostrando como ubicar coordenadas rectangulares ycomo graficar cualquier función encontrando sus dominios y rangos.
además de graficar demostraremos algunas formulas acerca de las graficas, entre unas de las cuales podemos mencionar esta la de pendientes paralelas y perpendiculares, ecuación de la circunferencia, corrimiento de coordenadas, etc.


ATT: DAVID STEVEN ARCILA PEREZ