FUNCIONES+Y+GRÁFICAS

**Funciones y** gráficas
En este cap´ıtulo estudiamos las propiedades de funciones, para lo cual usamos m´etodos algebraicos y gr´aﬁcos que incluyen la localizaci´on de puntos, determinaci´on de simetr´ıas y desplazamientos horizontales y verticales. Introducimos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en un plano por medio dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes coordenados, que se cortan en el origen O (ver ﬁgura). La recta horizontal recibe el nombre de “eje x”y la vertical el de “eje y”; se indican con X e Y respectivamente. Con lo anterior, se trata de un plano coordenado o plano xy. Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes (ver ﬁgura; I, II, III, IV). Los puntos de los ejes no pertenecen a cuadrante alguno.



A cada punto P de un plano xy se le puede asignar un par ordenado (a; b), seg´un se aprecia en la ﬁgura siguiente. El primer elemento del par ordenado es llamado la coordenada x (o absisa) de P y el segundo elemento del par ordenado es llamado la coordenada y (u ordenada) de P. Decimos que P tiene coordenadas (a; b) y nos referimos al punto (a; b) o al punto P(a; b). A

dominio y recorrido de una gráfica: El **dominio** de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el **recorrido** es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y). Ejemplo para discusión: Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

Funciones crecientes, decrecientes y constantes ** Definición ** : Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces: 1) f es **creciente** en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.   2) f es **decreciente** en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.    3) f es **constante** en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.    Ejemplos:    1) La función f(x) = 2x + 4 es una función **creciente** en los números reales. 2)   La función g(x) = -x3 es una función **decreciente** en los números reales.    3) La función h(x) = 2 es una función **contante** en los números reales. 4)  La función f(x) = x2 es una función **decreciente** en el intervalo de menos infinito a cero y **creciente** en el intervalo de cero a infinito.

=Funciones y gráficas =



[ [|ocultar] ] *  [|1 Definición] 
 * == Tabla de contenidos ==
 * [|1.1 Ejemplo]
 * [|2 Gráfica]
 * [|2.1 Ejemplo]
 * [|3 Características de una función] ||

Definición
Una //**función real de variable real**// es toda correspondencia [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-665edf2722851a1b2c49fd35323a3373.png caption=" \mathrm{f} "]] que asocia a cada elemento [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-bfd243a42d26754a5d987925e371a32c.png caption=" x "]] de un subconjunto no vacio [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-d10f8249af68be059374931ae5857a52.png caption=" D "]] de [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-c2a3d9a64ed1805381195007148040a0.png caption=" R "]] un único número real. La expresamos como:

[[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-9333c25a8309e039e4a08969b657ec5e.png align="center" caption=" \mathrm{f}: D \subset R \longrightarrow R "]]

[[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-a1ffe53e410f5219db21b175c1965646.png align="center" caption=" x \longrightarrow y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) "]]

[[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-bfd243a42d26754a5d987925e371a32c.png caption=" x "]] es la //**variable independiente**// e [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-f00099408f5e06e6b7de29bbb70a60a1.png caption=" y "]] la //**variable dependiente.**//

Al conjunto, [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-d10f8249af68be059374931ae5857a52.png caption=" D "]], de valores que toma la variable independiente [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-bfd243a42d26754a5d987925e371a32c.png caption=" x "]] se le llama //**dominio**// de la función.

Al conjunto de valores que toma la variable dependiente [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-f00099408f5e06e6b7de29bbb70a60a1.png caption=" y "]] se le llama //**recorrido**// de la función.

Una función se define //**explicitamente**// si viene dada como [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-e13d1fb7ea4e891b4d34672943e7f26f.png caption=" y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) "]], es decir, si la variable dependiente, [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-f00099408f5e06e6b7de29bbb70a60a1.png caption=" y "]] , está despejada.

Una función se define //**implícitamente**// si viene dada en la forma [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-fe77b74615a4e87b9450257ec42cb4fc.png caption=" \mathrm{f} \left( \, x, \, y \, \right) \, = \, 0 "]], esto es, si la función se define mediante una expresión algebraica igualada a cero.



[ [|editar] ] Ejemplo
La función [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-b8faddde39a52fb99f865a25033fcc89.png caption=" y \, = \, \cos \left( \, x \, \right) "]] está expresada en forma explícita.

La función [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-477cb8660eb35e5cc6aa62c5b4d62463.png caption=" \log y \, - \, x \, = \, 0 "]] está expresada en forma implícita.



[ [|editar] ] Gráfica
La gráfica de una función [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-665edf2722851a1b2c49fd35323a3373.png caption=" \mathrm{f} "]] es el conjunto de puntos del plano definido de la siguiente forma:

[[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-ffee9b8598be35cc5691ab2e1781c13f.png align="center" caption=" \left\{ \left( \, x, \, y \, \right) \in R^2 \, \left| \, y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right. \right\} "]]



[ [|editar] ] Ejemplo
La figura de abajo muestra la gráfica de la funcion [[image:http://www.educared.org/wikiEducared/images/math/math-d31366e35f6a0af6977aaeacb8ae9fd1.png caption=" \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{x^4}{4} "]] y cuatro puntos de la misma:





[ [|editar] ] Características de una función
Las características mas importantes de una función son: = Funciones gráficas  =
 * 1)   [|Dominio y recorrido.]
 * 2)   [|Existencia o no de periodicidad.]
 * 3)   [|Existencia o no de simetrías.]
 * 4)   [|Acotada o no acotada ( superior y/o inferiormente ).]
 * 5)   [|Existencia o no de extremos relativos.]
 * 6)   [|Existencia o no de extremos absolutos.]
 * 7)   [|Puntos de discontinuidad.]
 * 8)   [|Puntos de corte con los ejes de coordenadas.]
 * 9)   [|Signo de la función.]
 * 10)   [|Donde la función es creciente y donde decreciente.]
 * 11)   [|Concavidad y convexidad.]
 * 12)   [|Asíntotas ( horizontales, verticales y oblicuas ).]

[contexto gráfico|El contexto gráfico] [gráficas|Funciones gráficas]
 * [[image:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/images/prev.gif width="49" height="40" caption="prev.gif (997 bytes)" link="http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/grafico/grafico.htm"]][[image:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/images/chapter.gif width="49" height="40" caption="chapter.gif (1105 bytes)" link="http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/applets.htm"]][[image:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/images/home.gif width="49" height="40" caption="home.gif (1232 bytes)" link="http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/curso.htm"]][[image:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/images/next.gif width="49" height="40" caption="next.gif (1211 bytes)" link="http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/grafico/color_font.htm"]] || === [|Contexto gráfico] === ||

Hemos introducido la noción de contexto gráfico en las páginas anteriores, cuando se ha [primer applet|creado el primer applet], que muestra un mensaje. En este capítulo se estudiarán algunas funciones gráficas definidas en la clase //Graphics//, y tres clases que sirven de apoyo para dibujar en el contexto gráfico: la clase //Color// que describe los colores, la clase //Font// que nos permite crear fuentes de texto y la clase //FontMetrics// que nos proporciona sus características.

El contexto gráfico
La función //paint// y //update// nos suministran el contexto gráfico del applet o del componente, en otros casos, hemos de obtener el contexto gráfico del componente mediante la función //getGraphics.// Una vez obtenido el contexto gráfico podemos llamar desde este objeto a las funciones gráficas definidas en la clase //Graphics//. code public void paint(Graphics g){ //usar el contexto gráfico g } code code public void update(Graphics g){ //usar el contexto gráfico g } code code void funcion{ Graphics g=getGraphics; //usar el contexto gráfico g   g.dispose; } code Como vemos en esta porción de código existe una sutil diferencia entre suministrar y obtener el contexto gráfico //g//. Solamente es necesario liberar los recursos asociados al contexto //g//, mediante la llamada a la función //dispose//, cuando se obtiene el contexto gráfico mediante //getGraphics//. La clase //Graphics// es abstracta por lo que no se pueden crear mediante **new** objetos de esta clase, pero se pueden guardar en una referencia //g// de la clase //Graphics// los contextos gráficos concretos de los distintos componentes. Un contexto gráfico es como la hoja en blanco situada en un trazador (plotter). Para dibujar en dicha hoja se toma una pluma, se dibuja, se toma otra pluma de distinto color o grosor, se dibuja otra porción del gráfico, y así sucesivamente. Cuando no se selecciona explícitamente, se dibuja con una pluma que se establece por defecto. Las librerías gráficas como la de Windows, disponen de plumas de distinto grosor para dibujar líneas con distintos estilos, brochas para rellenar el interior de una figura cerrada con un color sólido, con una determinada trama o figura, y fuentes de texto, para dibujar texto con distintas fuentes y estilos. La librería gráfica que viene con la versión 1.1 de Java es muy limitada. No hay objetos pinceles, ni brochas. Las líneas tienen un único grosor y estilo, solamente se pueden cambiar de color, las figuras cerradas solamente se pueden rellenar con un color sólido, y las fuentes de texto disponibles son muy pocas. La clase //Graphics// describe el contexto gráfico y proporciona un conjunto de funciones para dibujar las siguientes figuras La esquina superior izquierda es el origen (0, 0). La esquina inferior derecha viene determinada por las dimensiones del componente. La función //getSize// nos devuelve un objeto de la clase //Dimension// cuyos miembros //width// y //height// nos suministran la anchura y altura del componenete. int ancho=getSize.width; int alto=getSize.heigth; ||
 * Líneas
 * Círculos y elipses
 * Rectángulos y polígones
 * Imágenes
 * Texto
 * [[image:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/applets/grafico/grafico1.gif width="323" height="160" caption="grafico1.gif (1011 bytes)"]] || El sistema de coordenadas que se usa en Java es similar a Windows. El área de trabajo del applet está compuesta por una matriz bidimensional de puntos o pixels. Decimos que un punto tiene de coordendas (x, y) cuando está en la columna //x// medida desde la izquierda, y está en la fila //y//, medida desde arriba.

 FUNCIONES Y GRAFICAS
     En __matematicas__, la**gráfica de una** //f//://X// →//Y// es la visualización de la correspondencia entre los elementos del __conjunto dominio__ y los del conjunto imagen mediante su representacióninconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (//x//, //f//(//x//)) de la función //f//; es decir, como un subconjunto del__producto cartesiano__ //X//×//Y//.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una __curva__.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una __relación__. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes. En esta unidad estaremos demostrando como ubicar coordenadas rectangulares y como graficar cualquier función encontrando sus dominios y rangos. además de graficar demostraremos algunas formulas acerca de las graficas, entre unas de las cuales podemos mencionar esta la de pendientes paralelas y perpendiculares, ecuación de la circunferencia , corrimiento de coordenadas, etc.

ATT: DAVID STEVEN ARCILA PEREZ